Estudio sobre la pirámide de Keops, la Gran Pirámide
Por Manuel de Diego Valderrábano
25 enero, 2021
Modificación: 7 mayo, 2021
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Palancas

Algo aparentemente tan baladí como descargar un bloque de piedra de un trineo no es tan elemental, sobre todo si el bloque pesa 2.500 kg. El proceso de descarga y posicionamiento sería el siguiente:

    • – Descargar el bloque del trineo a la plataforma rodante y retirar el trineo.
    • – Posicionar el bloque al lado de los ya colocados.
    • – Elevar el bloque y retirar la plataforma.
    • – Bajar lentamente en bloque hasta el suelo.

Y todo esto se debe hacer muy rápido y con poco esfuerzo (se está trabajando a 40º a la sombra).

En el siguiente dibujo está diseñada la palanca necesaria para realizar el proceso descrito. Resumiendo, es una palanca de madera cuyo apoyo es un segmento de circunferencia, con lo que el punto de apoyo se desplaza según la giramos. La curiosidad de esta palanca es que según la subimos aumentamos el esfuerzo multiplicador. No es ningún misterio, sencillamente el punto de apoyo de la palanca se acerca al punto donde está aplicada la fuerza.

En este estudio se ha supuesto que el canto de los patines del trineo es de 12 a 14 cm y la plataforma tiene 11 cm de altura.

Aparecen 3 posibilidades de controlar el peso según el ángulo. En el ejemplo se aplica una fuerza de 50 kg en el extremo de la palanca.

Dibujo 19

Uno de los conceptos que conocían los egipcios era el de la palanca, al menos en su fase práctica, pero todas las palancas no son iguales. La palanca diseñada está adaptada para la manipulación de grandes pesos de un vehículo de transporte a otro, o bien para colocar los bloques que conforman la pirámide en el suelo (excluyendo los grandes bloques de las diferentes Cámaras).

En esencia se trata de una palanca de dos metros de largo, 15 cm de ancho y 6 cm de grueso, formada por tres tablones unidos con cuerdas utilizando el sistema de empaparlas previamente, para que al secarse y contraerse fijen con más fuerza los tres tablones entre sí. El inicio de la palanca forma un ángulo de 15º con el resto.

Conceptualmente el punto de apoyo de la palanca es un segmento de circunferencia que va variando en función del ángulo de la palanca con el suelo. Con esto se consigue que el efecto multiplicador de la fuerza que generemos varíe según su inclinación.

En la figura podemos distinguir las posibilidades de la palanca:

A- Esta opción permite introducir la palanca entre el bloque de piedra y la plataforma rodante. Para este ejemplo la altura de la plataforma es de 11 cm y el ángulo más adecuado es de 45º.

B- Al disminuir el ángulo con el suelo (en este ejemplo 15º) se produce la elevación del bloque, suficiente para poder retirar la plataforma rodante y dejar “en el aire” el bloque.

C- Al aumentar el ángulo de inclinación el bloque iría descendiendo hasta quedar posado en el suelo.

D- En este apartado se dan algunos valores de la fuerza de elevación aplicando una fuerza en su extremo de 50 kg y según el ángulo de la palanca: para 15º 830 kg, para 30º 1.300 kg y para 45º 3.100 kg. Esta aparente contradicción se debe a que a medida que vamos girando la palanca, el punto de apoyo cada vez está más cerca del bloque y el esfuerzo multiplicador aumenta.

 En el punto “1” de la parte inferior izquierda, se contempla la posibilidad de reforzar el apoyo de la palanca situando entre las tablas dos láminas de bronce o cobre.

 

En el siguiente dibujo vemos algunas de las posibilidades de la palanca según su grado de inclinación. Podemos diseñar diversas palancas según las necesidades modificando su canto y el radio del círculo.

Dibujo 20

Se describen las posibilidades de la palanca desde su apoyo en el suelo hasta un ángulo de 60º. Está diseñada para izar bloques de piedra por encima de los patines del trineo de arrastre y de la plataforma rodante para su carga-descarga. Permite todas las posibilidades de subida y bajada respecto del trineo y de la plataforma.

La máxima altura de elevación sería de unos 17,5 cm, aunque siempre se podrán apoyar sobre calzos para adaptarnos a elevaciones mayores. En las distintas secuencias de la figura vemos que al variar el ángulo de la palanca con el suelo también varía el punto de apoyo. Entre los 15º y 45º (B C y D) el punto de apoyo respecto a la carga varia de 10,5 cm a 2 cm. Esto significa que según va disminuyendo la longitud del brazo de palanca disminuye la distancia del punto de apoyo y, curiosamente, hay que hacer menos esfuerzo para manejar mayores pesos.

En el apartado “E” a unos 55º de inclinación coincide el punto de apoyo con el punto de aplicación de la fuerza, estaríamos en equilibrio (inestable). Por último en el apartado “F” vemos que el punto de apoyo quedaría por dentro del bloque. Esta sería la posición ideal para hacer descender el bloque hasta el suelo con pequeños esfuerzos. Se podría decir que el bloque iría “escupiendo” poco a poco la palanca hacia fuera mientras el bloque desciende. Estas dos últimas opciones (E y F) permiten obtener una precisión muy alta en la colocación definitiva de los bloques. Con este tipo de palancas se podrán manejar correctamente la mayoría de los bloques que conforman la pirámide, desde los más numerosos de 2,5 toneladas, hasta los de la primera hilada que pueden llegar a las 12 toneladas.

 

 

Colocación de bloques

 En la perspectiva aparece una simulación de como colocar cada bloque en su posición.

Hay varios pasos: descargar el bloque del trineo a la plataforma rodante; posicionar la plataforma hasta su situación definitiva; retirar la plataforma; por último, hacer descender el bloque.

Como curiosidad decir que a partir de 55º de inclinación de la palanca, el punto de apoyo de la palanca se posicionaría dentro del bloque, con lo que con pequeños esfuerzos este “escupiría” la palanca hacia el exterior.

Dibujo 21

Representa una simulación completa desde que el trineo está sobre el suelo de la pirámide, hasta que el bloque es colocado en su ubicación definitiva:

En la posición “A” se retiran las cuerdas que arrastran el trineo, se desatan las que fijan la carga, se eleva el bloque utilizando palancas, se retira el trineo, se coloca la plataforma rodante y sobre ella se hace descansar el bloque.

En la posición “B” se desplaza el bloque sobre la plataforma rodante hasta situarlo en su emplazamiento.

En la posición “C” utilizando palancas se levanta el bloque ligeramente de la plataforma retirándola. A continuación y de manera controlada se hace descender el bloque hasta su posición definitiva.

La distancia entre la posición “A” y la “C” será de unos veinte metros y el tiempo que tardaríamos en el proceso completo sería de unos cinco minutos utilizando cinco o seis trabajadores. Al ser un proceso repetitivo se iría adquiriendo una gran experiencia que incluso nos permitiría rebajar estos tiempos.

 

Como si esta obra no es lo suficientemente complicada, va el arquitecto, y se le ocurre remeter en el centro de cada cara cerca de un metro –no lo entiendo, pero, a veces, los arquitectos somos así-, en fin, sigamos…

Esta pirámide representa una peculiaridad: sus caras se rehúnden unos 95 cm en su centro. En el dibujo se describen las tipologías de los sillares del revestimiento. En la parte superior está representado un esquema de su colocación, y en la inferior una perspectiva de los mismos. Insisto en no encontrar una explicación convincente a ésta complejidad añadida de rehundir por su centro los cuatro lados de la base de la pirámide, pero, como se trata de hacer una pirámide lo más parecida a la de Keops continuaremos con la descripción de la obra.

Al tener estas pequeñas desviaciones sobre la recta que une los vértices sería muy complicado fabricar los bloques con la precisión milimétrica necesaria. Para ello tallaremos los bloques como si no hubiera esta inclinación, con lo que cada uno sería unos 12 mm más ancho que el contiguo (para bloques de 1,4 m).

Para que la desigualdad de las caras de los bloques del revestimiento no afecte constructivamente al resto, todas las partes traseras de las piedras trapezoidales serán verticales y estarán alineadas cada 20 sillares. Como cada bloque trapezoidal tiene una longitud de 1,40 m en 28 metros habría un retranqueo de 23 cm a partir del cual empezaremos con el primer bloque de la serie siguiente. Lo que conseguimos de esta manera es dejar unas alineaciones rectas en el trasdós. Obviamente según vaya creciendo en altura la pirámide cada vez habrá menos retranqueos.

Dibujo 22 

En el dibujo está representada la tipología de los bloques del revestimiento, los de caliza blanca. En la esquina de cada hilada colocaremos un sillar de dimensiones 210 x 210 x 70 cm (tipo 1) al que se le dará la pequeña inclinación debida al rehundimiento de 95 cm en el centro de las caras de la base de la pirámide. Para una longitud de 210 cm supondría una inclinación hacia adentro de 1,73 cm. El sillar que colocaremos en el centro de las caras y de longitud 1,40 m (tipo 3) estará rehundido en su parte central, como la pirámide, y tendrá 0,6 cm menos de ancho. El resto de los sillares tendrán una longitud de 1,40 m (tipo2) y su ancho variará entre 70 y 47 cm.

Esta complicación en la geometría de los bloques exteriores supone preparar una especie de encofrado de madera para labrar los bloques según la disposición que ocupen. 

En la parte superior de la figura aparece, alineada, la distribución en planta de los bloques: los del vértice (1) y el centro (3) serán siempre iguales; en el resto (2) las aristas longitudinales no serían paralelas, sino que tendrían una diferencia de 1,2 cm tanto en la cara superior como en la inferior. Sus caras traseras serán verticales y estarán alineadas. Cada veinte sillares nos retranquearemos 23 cm (es lo que corresponde al rehundimiento) y volveremos a comenzar la serie. En definitiva, deberemos tener 22 patrones para poder optimizar el rendimiento de la cantera (otros 20 para el otro ángulo de inclinación).

 

Para este estudio hemos utilizado un patrón. Como la altura media de cada hilada es de 70 cm y el peso medio por bloque es de 2.500 kg, hemos elegido un bloque de 70 x 70 x 210 cm. Estas dimensiones equivaldrían a un peso de cerca de 2.500 kg. Esto no significa que todos los bloques sean iguales, pero para el estudio es suficiente.

Una de las primeras acciones que se deberían haber hecho es construir un modelo (una maqueta) en madera y que nos sirva de referencia. Se podría elegir una lo suficientemente grande para acumular un mínimo de errores, podría tener una escala de 1/20. La altura de este modelo sería de algo menos de 7,5 m y serviría de molde para cualquier tipo de encofrado que fuese necesario.

Parece un modelo muy grande y podrían haber tenido problemas en su ejecución, pero no debemos olvidar que los antiguos egipcios trabajaban muy bien la madera. El barco que se encontró junto a la pirámide en 1954 estaba formado únicamente por madera y cuerdas, no había clavos, y cuando se reconstruyó encajaron perfectamente todas sus piezas -más de 1.200-.

En el dibujo aportado vemos que los bloques se tallarían exactamente iguales, pero con una anchura de aproximadamente 1,2 cm menos (para longitudes de 1,40 m), es decir quedaría una pestaña de 1,2 cm. Daría una sensación parecida a la de las cubiertas de pizarra.

Inicialmente, y una vez colocados, se rebajaría esta primera pestaña hasta dejarla en unos 3 mm para proceder, una vez finalizadas las obras, al pulido final. Durante su construcción habrá tormentas de arena que ensuciarán la caliza blanca, por lo que sería conveniente acabar con una especie de estucado a base de polvo blanco mezclado con algún ligante para proteger la superficie y tapar las oquedades.

Dibujo 23  

En la parte inferior izquierda vemos las pequeñas variaciones entre dos bloques exteriores consecutivos.

Abajo a la derecha están representados los cuatro tipos de bloques de caliza que utilizaremos para uniformizar la primera fila inmediatamente detrás de la piedra caliza blanca del revestimiento. En la parte superior se representa la planta de la pirámide donde vemos que cada 20 bloques tendremos que retranquearnos 23 cm y empezar con una nueva serie.

En el dibujo inmediatamente inferior está representado el número máximo de retranqueos, donde para igualar con los 210 cm que tiene el ancho del primer bloque de la fila deberemos utilizar las cuatro longitudes de los bloques: 138 115 92 y 69 cm.

El remate de estas dos primeras filas de la hilada sería igual para las cuatro caras siendo la referencia el primer bloque cuadrado de las esquinas. Si nos fijamos en la perspectiva donde aparecen varios bloques unidos, cada uno de ellos individualmente no presentará en su labra inicial ningún tipo de rehundimiento. Este se conseguirá una vez colocados, donde se les aplicará un primer pulido para reducir este resalto inicial de 1,2 cm hasta dejarlo alrededor de 3 mm. En el pulido final, una vez se concluya la pirámide, se eliminarán estas pequeñas diferencias.

 

Proceso constructivo

Probablemente los monumentos más conocidos y más importantes de este planeta sean las pirámides. Su contemplación nos desconcierta y nos supera. Son construcciones fuera de la escala humana, no somos capaces de apreciarlas en toda su magnitud. La pirámide representada es la de Keops (la Gran Pirámide), la más grande jamás realizada.

Esta perspectiva “aérea” nos acerca a su realidad, intuimos como pudo ser su construcción (algo que en general no entendemos). Se está simulando su construcción a unos quince metros de altura, se representa simultáneamente en el mismo dibujo tanto como se almacenaban los bloques y como se producía su tracción en la cara opuesta (en la parte central se ve la subida de vigas de hasta 70 toneladas).

Otra característica de esta pirámide es su perfección, prácticamente no hay errores. Ejemplo: no tenemos referencias visuales para comprobar cómo podemos unir sus cuatro caras triangulares en un punto a casi 150 m de altura, y sin embargo así ocurrió.

Podemos distinguir varias fases en su construcción, dependiendo de su complicación: la primera sería desde el inicio hasta la colocación de la séptima hilada (donde van los bloques de mayores dimensiones. La segunda llegaría hasta los 21 m de altura, que es donde comienza la Cámara de la Reina y es la fase más rápida. La tercera, la más complicada, entre la Cámara de la Reina y el final de la Cámara del Rey y llega hasta los 67 m de altura. La última hasta llegar a su coronación es una fase relativamente tranquila.

Hasta llegar a los 21 m de altura deberíamos haber colocado alrededor de 630.000 bloques de los 2.400.000. En esta simulación estamos a unos 15 m de altura, llevamos colocados alrededor de 420.000, pero ¿Cuánto tiempo llevamos desde su inicio? Evidentemente esto es una estimación teórica:

    • – Redacción de proyecto más elección del lugar: 3 meses
    • – Nivelar la cimentación más tallar las terrazas: 1 año
    • – Replanteo de la base de la pirámide: 15 días
    • – Colocar zócalo perimetral (50 cm espesor): 20 días.
    • – Colocar 90.000 bloques grandes en las 7 primeras hiladas: 195 días (460 bloques cada día)
    • – En total llevaríamos 2 años y 2 meses (para años de 280-290 días hábiles)
    • – Habríamos fabricado en aproximadamente 600 días hábiles x 500 bloques/día = 300.000 bloques

Entre los 7,80 m y los 21 m del inicio de la Cámara de la Reina habrá unos 540.000 bloques. Tendremos una media de 60 rampas simultaneas por hilada. Se podrá colocar, siendo conservadores, un bloque cada 10 o 12 minutos (subir en trineo, descargar y ubicar en su posición), es decir, para jornadas de 8 a 10 horas unos 50 bloques cada día. Como tenemos 60 rampas se colocarán 3.000 diariamente.

Tardaremos 180 días en colocarlos, a estos días uniríamos:

    • – 6 días para replantear y colocar el revestimiento exterior de cada hilada (bloques de caliza blanca de Tura): 6 x 16 hiladas = 96 días.
    • – 3 días pulir irregularidades de cada hilada: 3 x 16 = 48 días.
    • – Cada 9 hiladas paro técnico para comprobar y modificar (si fuera necesario) la geometría de sus dimensiones; 15 días.

En total 339 días hábiles (aproximadamente 1 año y 4 meses). Habríamos fabricado en 339 días x 500 bloques/día = 169.500 bloques.

Si los sumamos a los anteriores habríamos fabricado: 300.000 + 169500 = 469.500 bloques, pero deberíamos haber colocado 630.000, es decir hay un déficit de 160.500 bloques.

Para hacer este estudio hemos considerado que en las canteras estarían trabajando continuamente 5.000 canteros y que la productividad sería de un bloque acabado cada 10 trabajadores por día, total 500 bloques día.

Para completar los bloques que faltan aprovecharíamos las crecidas del Nilo, que duraban unos tres meses, e incrementaríamos en 10.000 el número de trabajadores con lo que tendríamos 1.000 bloques día x 70 días hábiles x 3 años = 210.000 bloques, es decir al final de este periodo tendríamos un superávit de 40.000 bloques.

En colocar 630.000 bloques habríamos tardado 3 años y 6 meses. Si hay que colocar cerca de 2.400.000 aparentemente iríamos más que bien. Pero no nos engañemos a partir de esta altura (21 m) empieza lo realmente difícil, como es la construcción de las Cámaras de la Reina y del Rey y la Gran Galería, y aquí no es posible la colocación seriada. Veremos que entre los 21 m y los 67 m en que finaliza la Cámara del Rey tardaremos entre 6 y 7 años, y aún faltarán 80 m para concluir la pirámide.

Par finalizar y obviar un poco lo farragoso que suele ser aportar muchos datos, decir que a los 15 m de altura llevaríamos algo más de tres años de obra, estarían colocados 420.000 bloques calizos, estaríamos utilizando 60 rampas al mismo tiempo y colocaríamos 3.000 bloques cada día. En la perspectiva están representados unos 1.000 bloques apilados en el suelo, en esta fase debería haber apilados alrededor de 150.000. Todos estos datos parecen imposibles de cumplir, pero pudo ser. Incluso pudieron ir más rápido. La visión de las obras en esta fase tuvo que ser espectacular.

Dibujo 24  

Podemos hacer una valoración de tiempos para explicar cómo los hemos calculado. Correspondería a la colocación de los bloques tipo entre los 7,8 a 20 m de altura. El tiempo estimado para el izado de cada bloque sería:

    • – Arrastre por la rampa de subida (51º 50´) con una longitud de entre 10 m (7,80 m de altura) y 25,5 m (20 m de altura). Estimando una velocidad media de 0,5 m/seg (1,8 km/hora) podríamos tardar unos 45 segundos. Para esta operación se utilizaría la fuerza de las tres parejas de bueyes complementada a lo sumo con 20 trabajadores.
    • – Arrastre por la superficie horizontal (150 m de media). A una velocidad de 1 m/seg se tardaría 150 segundos. Solo utilizaríamos la fuerza de los bueyes. Las dos cuadrillas de apoyo de 10 trabajadores de la superficie y la base de la pirámide se trasladarán a la rampa contigua.
    • – Proceso de desatado de la carga, elevación sobre el trineo y descarga sobre la plataforma rodante y retirada del trineo: 120 segundos, realizado por cinco trabajadores que darían servicio a dos rampas.
    • – Retirada del trineo vacío a su punto de origen 150 m en horizontal y 20 m de rampa inclinada: 200 segundos.
    • – Fijación de los lazos de las cuerdas de arrastre al trineo en espera: 60 segundos.

 

El total sería 45 + 150 + 120 + 200 + 60 = 575 segundos, aproximadamente 10 minutos. Aún considerando un 20% de aumento en cada bloque por cualquier incidencia estaríamos hablando de 12 minutos con un rendimiento de 5 bloques/hora. Es decir 50 bloques al día por cada rampa. Con la experiencia estos tiempos podrían ser rebajados.

 

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