¿Conocían los antiguos egipcios el número (pi) π?
Por Alfonso Martínez
1 noviembre, 2007
Modificación: 27 abril, 2020
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Para poder responder a esta pregunta, lo primero que debemos saber, es qué entendemos nosotros por el número p y qué entendían los antiguos egipcios, o qué podían entender. Es cierto que realizaron cálculos, como áreas de círculos o volúmenes de cilindros con bastante precisión. Cálculos que hoy día nosotros los resolvemos con facilidad utilizando el número p en nuestras fórmulas. Pero, ¿Cómo lo hicieron ellos?

Primero repasemos nuestros conceptos. π (pi) es una constante matemática cuyo valor es igual a la proporción existente entre la longitud del perímetro del círculo (C) y la longitud de su diámetro (D). Matemáticamente:

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Se trata de un número trascendental[1], no puede expresarse como el cociente de una fracción exacta, ni en forma de raíz, ni como combinación de las cuatro operaciones aritméticas básicas. Es un número decimal. No es periódico, no se repiten sus decimales ni por grupos ni individualmente.

Arquímedes, (287 a.C.), uno de los mayores contribuyentes a las matemáticas en los primeros tiempos de la historia, lo calculó con 3 decimales exactos. A partir de este momento las aproximaciones al número πfueron ganando en exactitud, pasando por los mejores matemáticos del mundo, hasta que en el año 2000, el japonés Yasumasa Kanada con 660 horas de tiempo de cálculo de un supercomputador, lo calculó con ¡¡¡ un billón doscientos cuarenta mil cien millones de decimales ¡¡¡¡ … Y no existía ninguna repetición periódica de los mismos.

Su valor numérico, con diez decimales, es el siguiente:

π~ 3,1415926535

Pero volvamos unos cuantos de miles de años atrás, al antiguo Egipto.

Los números en el antiguo Egipto

Antes de responder a la pregunta de este artículo, deberíamos preguntarnos ¿Cómo eran sus matemáticas?, ¿Cómo expresaban los números? Ante esta pregunta hay que decir que los antiguos escribas egipcios no conocían los números decimales. Sólo utilizaban números enteros y fraccionarios. Además las fracciones eran unitarias (de numerador uno), excepto 2/3 y 3/4.

Número 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
Jeroglífico Image Image Image Image Image Image Image

Los números fraccionarios se representaban colocando el signo del número y encima el signo de la boca abierta Image correspondiente al signo D21 según la clasificación de Gardiner. Por ejemplo 1/10 lo representaban como Image.

Por tanto, de conocer π lo primero que debemos suponer es que lo habrían expresado como un número entero, fraccionario o como una suma o resta de fracciones. Pero no se ha encontrado ningún documento que lo acredite. Sí se sabe que los escribas eran capaces de calcular áreas de círculos y volúmenes de cilindros. Cálculos que en la actualidad realizamos con el uso de π. Pero ellos los realizaban por métodos muy ingeniosos y precisos para sus fines, como veremos mas adelante, en los que no aparece π, al menos aparentemente. ¿Quiere decir esto que no lo conocían o que no lo utilizaban? La respuesta no es sencilla.

Ante todo, hay que decir, que las matemáticas las aplicaban a los problemas cotidianos, eran fundamentalmente prácticas: cálculo de áreas de terrenos de cultivo, capacidades de graneros cilíndricos, etc., y no dejaron constancia de cómo dedujeron sus métodos de cálculo o, al menos, no los hemos encontrado, sólo podemos intuirlos o deducirlos por las operaciones matemáticas que realizaban en sus papiros.

Cálculo del área del círculo por los escribas egipcios

Este cálculo se encuentra descrito en el papiro de Rhind[2], donde el escriba egipcio Ahmes, afirma que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir igual a los 8/9 del diámetro.

Se trata de un círculo de 9 khet[3] de diámetro. Ahmes lo resuelve así: Resta al diámetro1/9 del mismo, que es 1. La diferencia es 8. Ahora multiplica 8 veces 8, que es 64, que es el área del círculo.

Este método podemos compararlo con nuestras fórmulas actuales de la siguiente manera:

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De esta ecuación se puede deducir por comparación con la conocida formula del área de un círculo (S=πr2) que π se puede aproximar a un valor racional:

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En definitiva, tal como vemos en esta fórmula, el área del círculo se calcula multiplicando el cuadrado del radio por el valor constante 256/81 (que se aproxima bastante a π), tal como lo hacemos nosotros hoy día, pero utilizando π en vez de la fracción 256/81.

Pero los antiguos escribas no realizaban así sus cálculos, sino que lo hacían en varios pasos:

  • Cálculo de 1/9 del diámetro
  • Restar al diámetro el resultado anterior
  • Elevarlo al cuadrado

Posiblemente no se dieron cuenta de que el resumen de esos pasos era multiplicar el cuadrado del radio por un valor constante, la fracción 256/81. ¿O si?

La respuesta no es tan sencilla como parece. Sí se dieron cuanta de ello, podríamos decir que sí conocieronπ, al menos con el valor aproximado de 3,1604…, pero aunque no hay ninguna constancia de esto podría haber ocurrido que lo conocieran y obviaron ese hecho por lo que voy a contar a continuación.

Suponiendo que lo conocieran, aparentemente lo más sencillo para el cálculo del área del círculo, es por tanto una multiplicación del cuadrado del radio por la fracción 256/81. Pero, como antes he comentado, no usaban fracciones de ese tipo, sino fracciones unitarias, por tanto, dicha fracción estaría reducida a la suma:

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Pero estas fracciones son muy incómodas de manejar en el sistema egipcio de multiplicación, pues todos los denominadores son impares. Ellos siempre trataban de evitarlos, tal como se demostró con la elaboración de la famosa tabla del Recto del papiro de Rhind[4]. Por tanto, les resultaba más fácil y cómodo realizar los cálculos tal como Ahmes lo realizaba en el citado problema nº 50 del papiro de dicho papiro[5].

En 1929 Vogel ideó un ingenioso método que podría explicar el de los antiguos egipcios. Para ello inscribió el círculo, cuyo área se pretende determinar, en un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo. Una vez hecho esto, se divide cada lado del cuadrado en tres partes y se trazan las líneas de cada una de estas partes hacia su lado opuesto. De esta manera hemos dividido el cuadrado en 9 partes (cuadrados) iguales. Para finalizar, se unen los vértices opuestos de los cuadraditos de las esquinas de tal manera que se forma una especie de octógono superpuesto con el círculo, tal como se puede observar en la siguiente secuencia de figuras.

Figura 1. Dibujo del autor

Figura 1. Dibujo del autor

En la última figura, podemos observar que el área del octógono es aproximadamente igual a la del círculo. Si nos fijamos bien, hay trocitos, muy pequeños, en las esquinas del octógono que se salen del círculo, pero hay otros pequeños trocitos del círculo, que se salen del octógono. Prácticamente, unos se compensan con los otros y hacen que el error en el cálculo sea muy pequeño.

De esta manera, considerando el problema nº 50 del papiro de Rhind, donde el diámetro del círculo era 9 khet, la superficie del octógono será la equivalente a la de 5 cuadraditos de 3×3 khet más 4 medios cuadraditos (los de las esquinas) o, lo que es lo mismo, 2 cuadraditos completos de 3×3 khet. En total son 7 cuadraditos, cada uno de 3×3 = 9 setat. Por tanto, la superficie del octógono y por ello la del cuadrado es 7×9=63 setat. Resultado muy similar al calculado por Ahmes en dicho problema, que daba como solución 64, pero que podría servir para explicar por qué los antiguos escribas realizaban así su aproximación al área del círculo.

Podemos concluir que el método egipcio de cálculo de áreas de círculos equivale a nuestro método moderno, pero considerando un valor de 3,16 para π. En muchos artículos o libros actuales se menciona que el valor que daban a π los antiguos egipcios u otros pueblos de la antigüedad era uno u otro valor, pero sería más correcto decir que “… según el método egipcio de cálculo π adoptaría un valor de 3,16….” o dicho de otra manera, los cálculos geométricos según los métodos egipcios, equivalen a dar un valor de 3,16 para π. Por tanto, esto no significa que los escribas adoptasen, ese valor constante (256/91 o 3,16) y lo multiplicasen por el cuadrado del radio del círculo para deducir la superficie, pues no lo hacían así como hemos visto, pero tampoco podemos afirmar que no lo conociesen, sino que es posible que lo obviaran y no lo utilizaran al carecer de utilidad para ellos.

π en la historia

Teniendo en cuenta lo anterior, a continuación se presenta un pequeño resumen del número π en la historia, donde podemos observar la aproximación que tenían sobre este número algunos de los pueblos de la antigüedad:

Civilización o autor Año Nº de decimales exactos con π Valor utilizado
Babilonia 2000 ? a.C. 1 3,125
Egipto 2000 ? a.C. 1 3,16045
China 1200 ? a.C. 0 3
Biblia (1 Reyes 7:23) 550 ? a.C. 0 3
Arquímedes 250 ? a.C. 3 3,1418

Con lo visto hasta ahora no podemos afirmar en rotundidad si los egipcios conocieron como tal el númeroπ, o simplemente lo obviaron al no ser de utilidad en sus cálculos cotidianos, Pero ….

…π aparece en la Gran Pirámide…

Sí… y de una manera asombrosa. No de cualquier manera. Nada menos que sale del perímetro de la base dividido por el doble de la altura de la pirámide. Similar al cálculo de π en una esfera: longitud de la circunferencia máxima (perímetro de la pirámide) dividido por el diámetro o doble del radio (doble de la altura de la pirámide). Además, la aproximación es estupenda: 3,14, mejor todavía que con la que resolvían la superficie del círculo.

Veamos esto con un poco más de detalle. Supongamos una esfera que tiene como radio la altura de la pirámide y en ella superponemos la pirámide y una replica invertida de ella, unidas por sus bases (Figura 2). Esa esfera quedaría proyectada, respecto a la base de la pirámide como se muestra en la figura 3. Supongamos ahora que la longitud de la circunferencia c es igual al perímetro de la Gran Pirámide.

Dibujo del autor

Dibujo del autor

Según las mejores mediciones realizadas, los lados de la Gran Pirámide valen: 230,30, 230.45, 230.39 y 230.35 metros, con lo que se obtiene un valor del perímetro de 921.49 m.

La longitud de la circunferencia es:

Lc=2. π.r= 2. π.146,6= π.293,2

Como el perímetro de la pirámide hemos dicho que es igual que la longitud de la circunferencia c:

921,49 = π.293,2 π = 921,49/293,2 = 3,1428

Es decir que una esfera que tuviese como radio la altura de la Gran Pirámide nos daría una circunferencia que tendría como perímetro un valor muy próximo al perímetro de la pirámide. Esto es válido para cualquier otra pirámide con las mismas proporciones.

Por ello, no es la única pirámide en que esto ocurre. Pasa lo mismo en la pirámide de Meidum, construida por Huny y reconvertida en pirámide de caras lisas por Seneferu, abuelo y padre de Keops respectivamente, y también en otras pirámides de la IV y V dinastías, como la de Dyedefra en Abu Rawash, Sahura y Niuserra en Abusir e incluso en la pirámide de Micerinos en Giza. Y todo ello unos 800 años antes de que se escribiera el papiro de Rhind. ¿Cómo es posible?

Tomando como modelo la pirámide de Keops o Gran Pirámide, los egiptólogos tratan de explicar este hecho, sin ninguna prueba a su favor, afirmando que para la mensuración de la misma utilizaron un rodillo, de tal forma que el lado (o el perímetro) de la pirámide tuviese un número determinado de vueltas del mismo. Y la altura de la pirámide sería ese mismo número de veces el diámetro del rodillo multiplicado por dos. De esta manera, el número π estaría implícito en la construcción sin que los arquitectos se diesen cuenta de ello. Veámoslo.

Supongamos que dichos arquitectos pretendieran que a cada lado de la pirámide le correspondiesen 100 vueltas del rodillo de diámetro D. La altura de diseño será, por tanto, 200 veces D. Matemáticamente:

  • Lado: 100. π.D
  • Altura: 200.D

Si ahora aplicamos el enunciado inicial: perímetro de la pirámide (4 veces el lado) dividido entre el doble de la altura:

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Como vemos, resulta π. Sin embargo, de ser así, este procedimiento no lo aplicaron a otras pirámides. Tan solo 6 pirámides presentan esta particularidad. Lo que representa aproximadamente la cuarta parte de las pirámides reales cuyas dimensiones son conocidas (Lado y altura).

Particularmente, yo creo que la procedencia del número π, tanto en ésta como en las otras pirámides que lo contienen, proviene de la evolución del propio método de construcción de pirámides egipcio.

Trataré de explicarme. Como todos sabemos, las primeras pirámides reales fueron escalonadas. Son las de la III Dinastía. Si somos capaces de imaginarlas sin escalones, es decir, alisar sus caras escalonadas y verlas rectas de perfil, con su correspondiente pendiente, podríamos advertir, que la inclinación es muy similar a la de la Gran Pirámide, casi 52º (Exactamente son 51º 50’) ¿Qué quiere decir esto? Muy sencillo, si convertimos una de esas pirámides escalonadas en pirámide de caras lisas, será una replica a escala exacta de la Gran Pirámide y por tanto contendrá el número π en su estructura tal como hemos visto. Cualquier pirámide que tenga la misma inclinación de caras que la Gran Pirámide, tendrá todas sus dimensiones proporcionales, y las mismas relaciones que se establezcan para una serán iguales para las demás.

Comencé a realizar cálculos con la primera de las pirámides escalonadas, la del rey Djeser, siguiendo con las demás por orden cronológico. Los cálculos, aunque aproximados, me daban un resultado próximo a los 52º, como la Gran Pirámide, hasta llegar a la pirámide de Huny. En esta pirámide, ni siquiera llegué a hacer los cálculos. Cuando iba a comenzar con ellos, me di cuenta de que ¡¡¡Ya estaban hechos!!!.

Se habían hecho hacia más de 4600 años. Y es que, como antes he comentado, Huny construyó una pirámide escalonada en Meidum, pero al parecer no fue enterrado allí. Unos años después, su hijo Seneferu, pensó en adecentar esta pirámide para su tumba, pues la que se estaba construyendo en Dashur, amenazaba con desmoronarse como indicaban las grietas que se estaban produciendo en sus cámaras (6). Así pues, Seneferu intentó reutilizar la pirámide escalonada de Meidum como morada para la eternidad. Y la reforma más importante, fue convertir dicha pirámide escalonada en una de caras lisas. Por tanto, el cálculo que yo pretendía realizar, ya estaba hecho. Pero no sólo el cálculo teórico, sino el práctico, siendo el ángulo de inclinación de caras, de la pirámide convertida, de 51º 50’, el mismo que el de la Gran Pirámide.

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Figura 4. Esquema y foto de la pirámide de Meidum. Foto: Siliotti, Alberto: «Guía de las Pirámides de Egipto

Por tanto, según este planteamiento, puesto que las pirámides escalonadas fueron anteriores a las de caras lisas y la pirámide de Meidum (La primera en ser convertida a caras lisas) fue anterior a la de Keops (la reconvirtió su padre), es posible que esa estética o forma final (inclinación de 51º 50’ de sus caras) la adoptasen algunos de sus sucesores y por tanto fue algo totalmente ajeno a la intención de incluir el número π en su estructura. Como diría Jean P. Lauer: ¡eso es algo fortuito!

Conclusiones

No hay ninguna evidencia clara de que los antiguos egipcios conociesen el número π. De haberlo conocido, seguramente lo habrían ignorado, no era útil para sus cálculos.

Decir que los egipcios empleaban un valor de π equivalente a 3,16 puede resultar engañoso, podría “parecer” que usaron ese valor, pero jamás apareció ese número en sus papiros y escritos. Lo correcto es decir que según los métodos que empleaban para hallar áreas de círculos o volúmenes de cilindros, “equivale a considerar π con valor de 3,16”.

El que el valor de π aparezca intrínseco en alguna de las pirámides es un hecho fortuito y posiblemente se deba al paso de convertir las pirámides escalonadas en caras lisas.

Bibliografía

Posamentier, Alfred S., Ingmar Lehmann. La proporción trascendental. Historia de p, el número más misterioso del mundo. Editorial Ariel, 2006.
Gillings, Richard J. Mathemtics in the time of the pharaohs. Dover Publications, Inc. New York, 1972.
Robins, G., C. Shute. The Rhind mathematical papyrus. British Museum Press, 1987.
Martínez, Alfonso. Magnitudes y Unidades en el Antiguo Egipto. Amigos de la Egiptología, 11 marzo de 2007,
Martínez, Alfonso. Las matemáticas egipcias y la tabla del recto, REVISTA DE ARQUEOLOGIA, Nº 287. AÑO 2005, PP. 44-51.
Martínez, Alfonso. El manejo de números fraccionarios: las matemáticas egipcias y la tabla del recto del papiro Rhind. Boletín Informativo de AE (BIAE) Año IV – Número XXXIV – Abril 2006.
Martínez, Alfonso. Pirámides de Egipto: cronología, clasificación y geometría.
Martínez, Alfonso. Las Pirámides reales de Egipto: clasificación por la inclinación de sus caras.


Notas:

[1] Un número trascendental es aquel que no puede ser raíz de una ecuación algebraica, con coeficientes racionales. Así por ejemplo Image es un número irracional, pero no trascendental, pues puede expresarse como la raíz de una ecuación: x2 -2=0, pues la solución de esta ecuación es raíz de 2.
[2] Se trata del problema nº 50 del papiro de Rhind, papiro matemático que contiene 87 problemas, escrito hacia el 1650 a.C. (Posiblemente copia de otro más antiguo). Fue comprado en 1858 por el egiptólogo escocés Alexander Henry Rhind. En la actualidad forma parte del British Museum y es una de las fuentes básicas de información de las matemáticas de la época.
[3] Sobre la Tabla del Recto véase el Boletín Informativo de AE (BIAE) Año IV – Número XXXIV – Abril 2006.
[4] Para llegar al desarrollo de suma de fracciones unitarias de 256/81, he utilizado la Tabla del Recto, tal como lo hubiesen hecho los antiguos escribas. Por otro método matemático moderno, llegué a la misma conclusión.
[5] Se trata de la famosa pirámide romboidal. A la vez se estaba construyendo otra pirámide más en Dashur, la conocida como pirámide Roja, posiblemente su verdadera tumba.

 

Autor Alfonso Martínez

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