Grupo 6: pirámides egipcias con ángulos en torno a los 52º (Seked = 5 ½)

Aunque solo con un grado menos de inclinación que las anteriores, se ha distinguido este grupo, ya que en él se encuentra la pirámide de Khufu (Keops), cuyas dimensiones y ángulos son bien conocidos y mejor medidos. Por ello aunque solo sea 1º 17′ menos del que debería tener para que su diseño fuese de acuerdo a los triángulos sagrados, es lógico suponer que no fue diseñada de acuerdo a éstos.

Seis son las pirámides de este grupo y todas de inclinaciones en sus caras muy similares, muy próximas a los 52º, en concreto son, por orden cronológico:

Pirámide de SENEFERU en Medum. IV Dinastía.
Pirámide de JUFU en Giza. IV Dinastía.
Pirámide de DYEDEFRA en Abu-Rawash.
Pirámide de MENKAURA en Giza. IV Dinastía.
Pirámide de SAHURA en Abusir. V Dinastía.
Pirámide de NYUSERRA-INY en Abusir. V Dinastía.

Las similitudes de estas pirámides, entre otras, son que todas ellas fueron construidas durante el Imperio Antiguo, relativamente muy próximas en el tiempo, concretamente en la IV y V Dinastías.

En cuanto a dimensiones, son muy diferentes, desde la mayor, la de Khufu con 230 m de lado, le sigue la de Seneferu con 144 m (En realidad esta pirámide la levanto su padre, Huny, de forma escalonada, fue Seneferu quién la convirtió en pirámide verdadera de caras lisas), siguen la de Djedefre y Menkaure con 106,2 y 104,6 m respectivamente y finalmente las dos de Abusir con casi 80 m .

Ríos de tinta se han escrito, con respecto a una, y solo una, de las pirámides de este grupo, por el hecho de sus dimensiones: la pirámide de Keops (Jufu), pero como hemos dicho anteriormente, todas las pirámides de este grupo en que se han dividido en este artículo estarán realizadas a escala unas de otras y por tanto, las relaciones geométricas que cumpla una de ellas también las cumplirán las otras.

Por tanto, no olvidemos que de todo lo que se ha escrito sobre la Gran Pirámide de Keops, referente a propiedades geométricas o relaciones entre sus dimensiones, sean acertadas o no, también lo cumplirán las pirámides de este grupo, tanto mas cuanto más se aproximen los ángulos de inclinación de sus caras a los de ésta (51º 50′).

No es objeto del artículo entrar a comentar todas estas propiedades, pero quizás si convenga aclarar algunas de las más interesantes, que son las basadas en los números π y φ y que pasamos a comentar.

Respecto al primero, cabe decir que con las medidas más fiables de la Gran Pirámide , se obtiene el valor de π con un resultado asombroso, teniendo en cuenta además la lógica similitud con que se obtiene π de la pirámide y con la que se obtiene de una esfera.

En concreto, dicho número (para una esfera), se define como la relación entre la longitud de su circunferencia (o circulo máximo, C) con el doble de su radio (R):

Para el caso de la pirámide es similar, ya que π se obtiene como la relación entre el perímetro de la pirámide (seria equivalente a la longitud de la circunferencia de la esfera) con el doble de su altura (equivalente al doble del radio de la esfera):

Después volveremos sobre esto. En cuanto al número φ también llamado Número de Oro o Sección Áurea, como fue denominado en el Renacimiento (posiblemente por Leonardo da Vinci), recordemos que dicho número es aquel que aumentado en una unidad es igual a su cuadrado y disminuido en una unidad es igual a su inverso. Es decir:

φ² = φ + 1            1/φ = φ – 1

De las ecuaciones anteriores se puede determinar una formula para calcular este número exactamente:

El cual, expresado con tres decimales, vale:

φ =1,618

Y por tanto φ² = 2,618 y 1/ φ = 0,618

También se puede conseguir el número cortando un segmento AB por el punto C, de tal manera que AB sea mayor que AC en la misma proporción que AC lo sea en BC.

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A                                       C                       B

O mejor de una manera menos complicada, según la serie de Fibonacci (Leonardo Da Pisa, matemático de la Edad Media ), según la cual cada término de la misma es la suma de los dos anteriores:

1     2     3     5     8     13     21     34     55     89     144     233     377 …………

De esta manera φ se obtendría dividiendo cada número de la serie entre su inmediato precedente, el valor saldrá tanto más exacto cuanto mayores sean los números que dividamos, resultando un valor exacto en el límite de la serie.

De la misma manera podemos obtener su inverso dividiendo un número entre el siguiente y curiosamente también podemos obtener su cuadrado si dividimos un número de la serie entre el anterior de su anterior. Ejemplos:

φ = 377/233 = 1,618
φ² = 377/144 = 2,618
1/ φ = 233/377 = 0,618

Cualquiera de los números de la serie (En especial de los mas altos para mayor exactitud) podría simular el segmento AB que antes se comentaba y sus dos anteriores corresponderían a AC y a CB.

Como curiosidad se puede decir que el número φ aparece en algunas figuras geométricas, por ejemplo 1/φ es el valor de lado de un decágono regular inscrito en un circulo de radio unidad, también aparece en los pentágonos y otras figuras geométricas. Ya los antiguos griegos encontraron la relación Áurea al estudiar el pentágono regular y sus diagonales y parece ser que la utilizaron en la arquitectura y escultura.

Curiosamente, también aparece en la naturaleza, por ejemplo en las espirales naturales, por ejemplo de caracoles, la relación entre las distancias de una espiral a otra es φ. En las plantas, las semillas de las ramas y las hojas, se acomodan, en muchas ocasiones, a los números de la serie de Fibonacci. También, la proporción Áurea se puede encontrar en muchas partes del cuerpo humano.

Por ultimo cabe decir que en diseño y pintura se ha utilizado dicho número, por ejemplo durante el Renacimiento, en pinturas o en diseño de catedrales, basta decir que el arquitecto francés Charles-Edouard Jeanneret (Le Corbusier) escribió un libro, Le Modulor I, que es una guía del uso de la proporción Áurea en la arquitectura.

¿Pero que tiene que ver este número con respecto a la Gran Pirámide y al resto del grupo? En ellas aparece el número φ si dividimos la apotema entre la mitad del lado de cada pirámide. O dicho de otra forma, se podría decir que estuvieron diseñadas con triángulos basados en este número. Estos triángulos serían los formados entre el apotema, la altura y la mitad del lado de la pirámide (Exactamente igual que ocurría con los triángulos sagrados del grupo anterior). En concreto, dichos triángulos basados en φ tendrían como lados: la unidad, φ y la raíz cuadrada φ (Ver Figuras).

En efecto, en la Gran pirámide se cumple con bastante precisión si hacemos corresponder a la mitad del lado con la unidad (Es decir que 230,36/2 m se corresponda con 1), entonces la altura, 146,6 m se correspondería con 1,273 (Corresponde a la raíz de φ ) y el apotema, 186,4 m con φ.

De la misma manera que en el grupo anterior, estas pirámides estarían diseñadas con 4 triángulos de este tipo orientados según los 4 puntos cardinales.

¿Porqué ocurre esto? ¿Fue intencionado? ¿Realmente conocían los antiguos egipcios los números π y φ?

Hay que empezar reconociendo que no sabemos verdaderamente como los egipcios construyeron las pirámides, en especial las más grandes. Ni como las midieron, aunque si sepamos que unidades utilizaban. Ver: Magnitudes y Unidades en el Antiguo Egipto: Relaciones y Equivalencias

Por este hecho, es fácil la especulación, sin embargo hay ciertas cosas a tener en cuenta respecto a todo esto y que podrían aclarar algunas dudas:

• Las relaciones antes mencionadas son consecuencia directa de la inclinación de caras de este grupo (52º). Es decir, en cualquier pirámide diseñada con esa inclinación de caras, tenga el tamaño que tenga, se podrá deducir π y φ.
• Este ángulo es probable que haya sido consecuencia de convertir pirámides escalonadas en lisas, tal como se explicó en el grupo 1 (Pirámides escalonadas) y precisamente el ejemplo lo tenemos cerca. La primera pirámide de este grupo, la de Seneferu , en Medum, tiene 51º 57′ y es consecuencia de convertir una pirámide escalonada, la de su padre Huny (de 8 escalones de 75º) en pirámide de caras lisas. Precisamente, es la PRIMERA pirámide que se construye con prácticamente 52º y por tanto dicha inclinación fuese tenida en cuenta en los diseños posteriores.
• Los cálculos realizados en las demás pirámides escalonadas arrojan datos entre 51º y 53º para la inclinación de caras sí hipotéticamente las convertimos en pirámides lisas. Y la prueba de ello la tenemos en la pirámide comentada en el punto anterior, ya que esto fue llevado a la práctica. Además estas inclinaciones fueron las mas utilizadas, solo hay que ver que los grupos 5 y 6 de pirámides que se describen en este trabajo, son las más NUMEROSAS.
• Además de ser consecuencia de lo anterior, la posible presencia de π, podría ser debido a la utilización de un tambor o rodillo, pero de tal forma que una de las magnitudes de la pirámide se contase por vueltas de ese tambor y otra con el diámetro del mismo. Por ejemplo, que se fabricase un tambor de 1 codo o medio codo y se constase un numero determinado de vueltas para determinar el lado, pero en cambio para la altura, se determinase un valor en codos.
• Los antiguos egipcios no conocían los números decimales, usaban los fraccionarios y como sabemos π y φ son números decimales. No hay ninguna prueba de que los conociesen, a pesar de que calculaban áreas de círculos y hoy todos utilizamos para ello π, pero los antiguos escribas lo hacían de una forma muy peculiar, sin utilizar dicho numero, es decir hacían una aproximación a ello, dividiendo el circulo en cuadraditos mas pequeños y aproximaban la suma de sus áreas, a la del circulo mas grande. Si hacemos cuentas, esto correspondería a un valor para π de 3,1605.
• No obstante, hay también que tener en cuenta, que tanto π como φ, son números irracionales, y como tales no hay constancia alguna de que los conociesen los antiguos escribas egipcios, pero también es verdad que pueden aproximarse bastante como una relación entre dos magnitudes. Por ejemplo, la relación Áurea antes comentada en la que puede dividirse un segmento. Así por ejemplo, si queremos dividir un segmento en dos partes desiguales, puede que lo hagamos inconscientemente, de tal forma que se cumpla la relación Áurea (Hay quien dice que, al escribir, la distancia a la que suele colocar el trazo horizontal de letras como la A, E, F o H, dividen la altura en dos segmentos que están en la proporción Áurea). Puede que esto sea por estética y por ello los antiguos griegos ya lo usaron en arquitectura y escultura. Y no hay nada de extraño ni oculto, era una proporción conocida, tanto en la naturaleza, como en el mismo cuerpo humano, como se ha comentado. Un apunte más: en nuestro propios dedos, podemos ver esa relación Áurea: la longitud del metacarpo a la falange, de ésta a la falangina y de ésta a la falangeta es aproximadamente φ.
• Por ultimo, porque no: casualidad. Pues entre otras cosas, ¿Qué sentido tiene tener “escondido” a π ó φ en las medidas de la pirámide ¿Qué ventajas supone?

Pero además, ¿se diseño la pirámide sobre la base de φ? ¿ó a π? ¿ó quizá a ambos? Si solo fue respecto al primero, entonces lo del segundo es casualidad. Y si fue respecto al segundo, entonces lo del primero es casualidad. Y si no hay ninguna casualidad ¿Por qué no se diseño respecto a los dos números a la vez?

Diseñar una pirámide EXACTA respecto a ambos números, es IMPOSIBLE, salvo que se cumpla una muy, muy pequeña condición, que luego veremos.

Tal como se ha dicho antes, teniendo en cuenta que la altura de la pirámide seria raíz cuadrada de φ y la mitad del lado la unidad (por tanto el lado valdría 2), si calculamos π de la misma manera que antes, se obtiene un valor muy próximo pero no el valor exacto:

Por ello podríamos pensar que en una pirámide de este tipo, o se diseñó para π ó para φ, pero no los dos a la vez, al menos de una manera exacta. Por tanto, en el mejor de los casos, suponiendo que se diseño de acuerdo a uno de estos números, implicará que de forma «casual» reproduce el otro.

No obstante, habría una posibilidad para que se cumplan EXACTAMENTE las dos condiciones. Se trata de la pequeña condición antes mencionada, y es que sí a pesar de ser una pirámide de base cuadrada, la longitud de los lados de la pirámide no fuese exactamente la misma que la de los lados del cuadrado, es decir que tuviese sus caras cóncavas o convexas.

Esta es una posibilidad que en un principio había sido pasada por alto, ya que las caras de la Gran Pirámides son cóncavas. Sobre esta cuestión ver: La fotografía de la R.A.F. sobre el efecto relámpago ¿una foto falsa?

Pero, desgraciadamente, al realizar los cálculos necesarios se puede comprobar que para que esto sucediera, las caras de la Gran Pirámide , no deberían de ser cóncavas, sino lo contrario: CONVEXAS, es decir en lugar de estar cada cara partida en dos hacia dentro, lo estuviese hacia fuera y es mas, el ángulo del plano de la cara de la pirámide con la línea recta imaginaria del cuadrado de la base, si este efecto no ocurriese, seria tan solo 3,3′ en vez de los 27′ que actualmente tiene, lo que supone que el centro de las caras de la pirámide sobresaldría respecto al cuadrado de la base, la pequeña cantidad de solo 11 cm , en lugar de 90 cm que es lo que está hacia dentro. Por tanto si consideramos la concavidad de las caras como una posible solución que se «olvidaba» el error es mucho mas grande.

En este sentido, lo mas lógico es la respuesta del arquitecto francés Jean Philippe Lauer, gran experto en las pirámides egipcias, cuando dice «todo es fortuito» al hablarle de las relaciones entre las dimensiones de la Gran Pirámide.