Clasificación de las pirámides egipcias por la inclinación de sus caras
Por Alfonso Martínez
13 noviembre, 2005
Modificación: 18 mayo, 2017
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Las pirámides egipcias se construyeron, en líneas generales, con tamaños, ángulos de inclinación de caras y estructura interior aparentemente dispares y en la mayoría de los casos sin relación la una con su inmediata predecesora. En un intento de realizar una clasificación de las pirámides reales egipcias, distinta a su cronología, en este trabajo se presenta una distribución por grupos de pirámides que tienen en común su forma final, lo cual haremos a través del ángulo de inclinación de sus caras y del seked.

No obstante, hay que aclarar que evidentemente, en la clasificación cronológica se puede observar una clara línea de evolución en las técnicas de construcción. Tiene su máximo exponente en las pirámides de la meseta de Giza y después, posiblemente para optimizar los recursos del país los métodos cambiaron, las pirámides fueron mas pequeñas, la técnica menos elaborada, se rellenaron grandes huecos con cascotes y escombros, otras se construyeron con ladrillos, pero eso sí, los arquitectos tuvieron muy en cuenta el acabado final, su recubrimiento con piedra de buena calidad, hoy día perdido en gran parte o en su totalidad. Es precisamente esta forma final la que nos interesa en este articulo, tratando de agrupar las pirámides por su forma y no por su tamaño o cronología, para establecer las posibles características en común de todas ellas.

Pero antes, veamos brevemente algo de todas ellas en su conjunto, como su localización, geometría y algún otro dato de interés.

Una breve introducción

Las pirámides se construyeron en Egipto en pleno apogeo de los Imperios Antiguo y Medio (Desde las dinastías III a XIII), en la denominada “Era de las Pirámides”, que abarcó un periodo aproximado de 1000 años, concretamente entre el 2630 y 1640 a. C., durante el cual más de 100 pirámides fueron levantadas. De ellas, tan solo la mitad, se atribuyen a los reyes que gobernaron Egipto en dicha época, el resto pertenecen a reinas y princesas.

Fue el enterramiento real mas utilizado en este periodo, pero no todos los soberanos del país construyeron este tipo de enterramiento como morada para la eternidad. La pirámide en sí, formaba parte del complejo funerario del rey, el cual básicamente estaba formado por la propia pirámide, dos templos (El denominado templo alto, situado al lado de la pirámide, en su cara Este y el templo bajo o del valle, en la orilla del Nilo), una calzada que los une, otras pirámides o tumbas subsidiarias y un muro que rodeaba el recinto (Ver figura 1). Todos estos elementos del complejo se incorporaron por primera vez en la pirámide de Medum, en la interfase de la III y IV dinastías, construida de forma escalonada por el faraón Huny y convertida en pirámide de caras lisas por su hijo y sucesor Seneferu. A ésta, se la puede considerar el prototipo de los complejos funerarios con pirámide que se edificaron después.

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Figura 1. Complejo funerario con pirámide

Localización de las pirámides

De todas ellas conocemos su localización exacta, su constructor y, en la mayoría de los casos, sus dimensiones y ángulos de inclinación de sus caras. Los lugares donde se construyeron pirámides se citan (De Norte a Sur del país) a continuación:

– Abu Rawash
– Giza
– Zawyet el-Aryan
– Abusir
– Sakkara
– Dahshur
– Mazghuna
– el-Lisht
– Maidum
– Hawara
– el-Lahun

 

Entre la localización situada mas al Norte (Abu Rawash) y la que está mas al Sur (el-Lahun), hay una distancia, en línea recta, de casi 100 Km y por tanto muchas de estas localizaciones están muy próximas unas con otras, por ejemplo entre las de Guiza, Zawyet el-Aryan, Abusir, Sakkara, Dahshur y Mazghuna, existe una distancia de unos 5 Km entre cada una de ellas (Ver figura 2).

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Figura 2. Distribución de las pirámides a lo largo del Nilo

Un breve repaso a las pirámides reales

En cuanto a su forma, se dividen en dos tipos: las escalonadas y las de caras lisas. Las primeras tienen forma de escalones y se construyeron durante la III dinastía, el resto, exceptuando alguna de las pirámides subsidiarias de ciertos complejos funerarios reales, son de caras lisas, edificadas entre la IV y XIII dinastías, a las cuales se las considera como el desarrollo natural de las anteriores.

Son pocas las pirámides que aun siguen hoy en pie. Las que se levantan altas y majestuosas son precisamente las más grandes y más antiguas, posiblemente debido a la técnica empleada en su construcción y al tamaño y calidad de los bloques de piedra utilizados, que formaron un núcleo interno mucho más rígido y estable que el resto de las pirámides, las cuales se encuentran derrumbadas o desmoronadas, pareciendo mas bien una montaña de escombros que difícilmente recuerda a la forma geométrica que antaño fue.

Las mas conocidas son las pirámides de Gizeh, elevadas con grandes bloques de caliza, para el descanso eterno de los grandes faraones Jufu (Keops), Jafra (Kefrén) y Menkaura (Micerinos). Reflejan el emblema y gloria de la IV Dinastía, sin embargo hay otras más antiguas y no menos grandiosas. Nos referimos a las pirámides de Saqqara y Dashur, por citar alguna, concretamente a la pirámide escalonada de Dyeser, la pirámide Roja de Seneferu y la pirámide de doble pendiente del mismo faraón.

La primera de ellas, la pirámide escalonada de Dyeser, obra del mítico y genial arquitecto Imhotep, fue la primera pirámide construida en el mundo y sirvió de modelo para sus sucesores. En el estudio cronológico de las pirámides, se puede observar como fue evolucionando la técnica de construcción hasta llegar a las citadas maravillas de Gizeh, momento a partir del cual la técnica pegó un cambio a favor de otros elementos del propio complejo funerario, junto a una exquisita decoración, inexistente en el interior de las pirámides precedentes, a la vez que se aprovechaban otros recursos, se ahorraban esfuerzos y material, y por tanto, se reducían los costes, con las consiguientes ventajas económicas para el país.

La nueva técnica empleada, a partir de la V dinastía, consistió básicamente y a grandes rasgos, en emplear capas superpuestas de caliza de baja calidad, rellenando los huecos con ladrillo, escombros y arena. Todo ello formaba un núcleo que era revestido con bloques de caliza de mejor calidad. Cuando perdió éste, quedó su débil núcleo interno al descubierto y muchas de ellas no resistieron el paso del tiempo. Por este motivo y porque la mayoría de ellas fueron utilizadas como canteras desde la antigüedad, unido a que otras nunca se terminaron, es por lo que en la actualidad muchas de las pirámides solo alcanzan unos pocos metros de altura.

La geometría

Todas las pirámides de caras lisas, construidas en Egipto, son pirámides regulares de cuatro caras, con una pendiente de inclinación que varia entre los 43º y los 61º, siendo el valor 53º 7′ 48” el mas utilizado y corresponde al diseño basado en el triángulo sagrado egipcio o triángulo 3-4-5. Respecto a las pirámides escalonadas, se puede decir que se diseñaron para que tuviesen entre 6 u 8 escalones, con una inclinación comprendida entre los 68 º y 75º. Sin embargo, solo se terminaron de construir dos de ellas: la de Dyeser en Saqqara y la de Huny en Medum.

En cuanto al tamaño de las pirámides hay grandes variaciones. Sí exceptuamos las pirámides subsidiarias, mucho más pequeñas, se puede decir que la menor de todas es la atribuida al rey Kakara Ibi (VII Dinastía), con tan solo 24 metros de lado, aunque precisamente, por su pequeño tamaño, el tipo de su estructura interna y otras causas, algunos autores piensan que fue diseñada para una reina y que posteriormente fue usurpada por este rey.

La mayor de las pirámides de Egipto es la de Jufu (Keops), de la IV Dinastía. Tiene 230 metros de lado y 146,6 metros de altura. Es la famosa “Gran Pirámide” de Giza, tal como se la conoce en la actualidad. Su vecina, la de Jafra (Kefrén), es la segunda gran pirámide, sus dimensiones son 215,25 metros de lado y 143,5 metros de altura. Curiosamente, el verdadero nombre de ésta, coincide con el nombre moderno que se le ha dado a la primera.

Estas dos pirámides, junto con las de los reyes Dyeser, Huni y Seneferu de la III y IV Dinastías, son las mas grandes (entre 120 y 220 metros de lado). Solo el volumen de piedra que fue necesario extraer, trasladar y colocar en los recintos funerarios de estos faraones, supera con creces a todo el volumen del resto de las pirámides construidas en Egipto.

De manera aproximada, el resto de las pirámides podríamos englobarlas en tres grupos: 50, 80 o 105 metros de lado principalmente. No obstante, hubo otros intentos de construir grandes pirámides, como la del rey Baka de la IV Dinastía, en Zawiet el-Aryan, con 200 metros de lado, pero no se pudo finalizar y tan solo alcanzó una decena de metros de altura.

En cuanto a la estructura interior de las pirámides, también es muy variable, no obstante muchas de ellas siguieron un patrón común. A excepción de un par de pirámides que tienen dos entradas, el resto solo tiene una y esta se encuentra en la cara Norte, con excepción de un pequeño grupo de pirámides del Imperio Medio que tienen su entrada en otra de las caras.

En casi todos los casos, la entrada da a un pasaje descendente de unos 22º o 26º de pendiente que conduce a las cámaras interiores. La distribución y número de estas cámaras también es muy variable, lo mismo que el número de pirámides subsidiarias con que cuenta cada uno de los diversos complejos funerarios, pudiendo no tener ninguna o incluso llegar hasta 10 pirámides satélites, caso del complejo de Senusert I.

El fin de las pirámides

Con el final del Imperio Medio y la llegada del denominado Segundo Periodo Intermedio, se dejaron de construir pirámides. Los faraones eligieron otro tipo de enterramiento. Habrán de pasar casi 800 años, desde que se construyera la ultima pirámide del Imperio Medio para que volviese de nuevo este tipo de construcción a Egipto, pero esta vez de forma muy diferente en todos los aspectos. Son las tumbas reales de los faraones nubios. No se parecen a las anteriores, son pirámides mucho más pequeñas, de exagerada pendiente, por lo que ahora el lado es más pequeño que la altura de la pirámide. No se localizan en el Norte del país, como las anteriores, sino muchísimo mas al Sur, entre la tercera y sexta catarata.

La forma piramidal

Cualquier pirámide regular de cuatro lados, como las construidas en Egipto, se la puede definir correctamente con tan solo dos magnitudes, que generalmente son la longitud de un lado y su altura, ya que con estos dos valores se pueden calcular los demás, como pueden ser el apotema, arista y diagonal de la base.

Para definir las dimensiones de una pirámide normalmente nos fijamos en lado y altura, pues con estas dos magnitudes podemos calcular todas las demás. Así, el ángulo de inclinación de las caras de la pirámide, se obtiene de la relación que hay entre ellas. Con este ángulo se puede definir una pirámide que sea igual en forma, aunque no necesariamente en tamaño, que otra dada. Es decir, dos pirámides regulares, de 4 lados cada una, que tengan el mismo ángulo de inclinación de caras, serán iguales en forma o aspecto, aunque pueden tener tamaños diferentes y en este caso se dice que una de las pirámides está realizada a escala de la otra.

Por ello, en este articulo para clasificar las pirámides nos guiaremos de su ángulo de inclinación de las caras, con objeto de poder analizarlas y hacer comparaciones entre ellas.

No obstante, sabemos que algunas de ellas no se terminaron de construir, incluso de otras no tenemos la certeza de que realmente hubiesen sido algún día una pirámide.

Los datos conocidos de todas estas construcciones se presentan ordenados en el tiempo en Todo sobre las Pirámides donde además se hace referencia a la dinastía, constructor y a su localización.

Clasificación de las pirámides por el ángulo de inclinación de sus caras

A continuación se tratará de distribuir en grupos las diferentes pirámides reales en función de su seked, por tanto no estarán incluidas aquellas pirámides en las que éste no puede calcularse.

Teniendo esto en cuenta, las pirámides egipcias podemos clasificarlas en 8 grupos, atendiendo al seked o al ángulo de inclinación de sus caras:

Grupo 1: Ángulos entre 68º – 75º (Seked entre 1 ¾ y 2 ¾)
Grupo 2: Ángulos en torno a los 61º (Seked = 4)
Grupo 3: Ángulos en torno a los 56º (Seked = 4 ¾)
Grupo 4: Ángulos en torno a los 54,5º (Seked = 5)
Grupo 5: Ángulos en torno a los 53º (Seked = 5 ¼)
Grupo 6: Ángulos en torno a los 52º (Seked = 5 ½)
Grupo 7: Ángulos en torno a los 49º (Seked entre 6 y 6 ¼)
Grupo 8: Ángulos entre los 42º – 43º (Seked entre 7 ½ y 7 ¾)

Son 29 las pirámides reales de las cuales conocemos sus ángulos de inclinación de caras, y por tanto su seked. No obstante se totalizarán 30 pirámides puesto que la pirámide de doble pendiente de Seneferu estará en dos grupos distintos. Esta distribución se puede observar en la siguiente tabla y en el Gráfico 1.

Tabla 1
GRUPO SEKED ANGULO DE CARAS NÚMERO DE PIRÁMIDES PORCENTAJE
1 1 ¾ – 2 ¾ 68º – 75º 4 13,33 %
2 4 ≈ 61º 1 3,33 %
3 4 ¾ ≈ 56º 4 13,33 %
4 5 ≈ 54,5º 1 3,33 %
5 5 ¼ ≈ 53º 9 30 %
6 5 ½ ≈ 52º 6 20 %
7 6 – 6 ¼ ≈ 49º 2 6,66 %
8 7 ½ – 7 ¾ ≈ 42º ≈ 43º  3 10 %
TOTAL  30 100 %

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Gráfico 1.

Evidentemente, el número de pirámides reales conocidas es mayor, pueden contabilizarse mas de 40 (y más de 100 si consideramos las pirámides subsidiarias atribuidas a reinas y princesas), pero debido al estado en que se encuentran o que no se terminaron de construir en su día, no sabemos que inclinación caras pretendieron darles, que es el dato principal para realizar este trabajo. No obstante, puesto que los datos de los seked desconocidos están distribuidos aleatoriamente en el tiempo, los porcentajes de la tabla anterior no sufrirán grandes desviaciones y pueden servir para este estudio.

Como complemento a todos estos datos se presenta el gráfico 2 y una nueva tabla donde se reflejan las dimensiones de las pirámides reales. Están incluidas todas las pirámides anteriores y además la mastaba de Shepseskaf y 6 pirámides más, de las cuales solo conocemos las dimensiones de sus lados y por tanto no es posible calcular el seked. Se puede observar la evolución temporal en cuanto al tamaño de las pirámides, comprobando que en las primeras dinastías eran mayores y después sufrieron una caída que en la mayoría de los casos se mantuvo por debajo de los 100 metros de lado.

Tabla 2
ORDEN PIRÁMIDE localización Lado l Lado l’ Altura h
1 Dyeser Saqqara 109 121 62,5
2 Sejemjet Saqqara 120 120 70
3 Jaba Zawyet el-Aryam 83,8 83,8 42
4 Huny Meidum 128 128 84
5 Huny-Seneferu Meidum 144 144 92
6 Seneferu Dashur 188,6 188,6 105
7 Seneferu Dashur 220 220 104
8 Jufu Guiza 230,36 230,36 146,59
9 Dyedefra Abu Rawash 106,2 106,2 68
10 Jafra Guiza 215,25 215,25 143,5
11 Baka (Nebka) Zawyet el-Aryam 200 200
12 Menkaura Guiza 104,6 102,2 66
13 Shepseskaf Saqqara 104 78 18
14 Userkaf Saqqara 73,5 73,5 49
15 Sahura Abusir 78,75 78,75 50
16 Neferirkara Abusir 105 105 70
17 Neferefra Abusir 65 65
18 Nyuserra Abusir 78,9 78,9 50
19 Dyedkara-Isesi Saqqara 78,75 78,75 52,5
20 Unis Saqqara 57,75 57,75 43
21 Teti Saqqara 78,75 78,75 52,5
22 Pepy I Saqqara 78,75 78,75 52,5
23 Merenra Saqqara 78,75 78,75 52,5
24 Pepy II Saqqara 78,75 78,75 52,5
25 Kakare ibi Saqqara 24 24 21,6
26 Jui Dara 146 136
27 Amenemhat I el-Lisht 84 84 57
28 Senusert I el-Lisht 105 105 61
29 Amenemhat II Dashur 50 50
30 Senusert II el-Lahun 106 106 48
31 Senusert III Dashur 104 104 78,5
32 Amenemhat III Dashur 104 104 78,5
33 Amenemhat III Hawara 100 100 57
34 Amenemhat IV/Sebekkara Mazghuna 52 52
35 Ameniquemau Dashur 49,5 49,5
36 Jendyer Saqqara 52 52 37,35

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Gráfico 2.

Conclusiones

Este trabajo es un intento de explicar las diferente inclinación de las caras de las pirámides reales que se construyeron en Egipto. El análisis geométrico que se ha presentado corresponde al 70% aproximadamente de las pirámides conocidas, puesto que del 30 % restante no conocemos todas sus dimensiones y por tanto no es posible incluirlas en ninguno de los grupos que aquí se han presentado.

Con los datos de las inclinaciones que conocemos y a la vista de todo lo expuesto anteriormente se puede decir:

  • Curiosamente, no se edificó ninguna pirámide con ángulos de inclinación de 45º (la mitad del ángulo recto) o seked: 7. Supondría que el lado fuese el doble de la altura o dicho de otra manera, el uso de triángulos rectángulos isósceles.
  • Tampoco se construyeron pirámides con lados y alturas iguales. Corresponderían a ángulos de inclinación de 63º 26’ (Seked: 3 ½)
  • El ángulo de inclinación mas utilizado ha sido el de los grupos 5 y 6 (en torno a 52º y 53º, seked 5 ¼y 5 ½ respectivamente). En conjunto las pirámides que suman estos grupos corresponden al 60% de las pirámides de caras lisas (No se incluyen las pirámides escalonadas) de las cuales conocemos sus dimensiones.
  • Para tratar de explicar el elevado porcentaje de las pirámides con ángulos entorno a los 52º (Grupo 5), la idea que se presenta en este trabajo es que ello tuvo su origen en las primeras pirámides, las escalonadas, de tal manera que la forma o aspecto global que presentan pudiera de alguna manera influir en las que posteriormente se construyeron. Efectivamente, según los cálculos realizados (Ver Grupo 1), se puede comprobar que si trazamos una línea imaginaria que recorra las esquinas de los escalones, el ángulo que formaría con la horizontal seria de unos 52º aproximadamente, o dicho de otra manera si revestimos una pirámide escalonada con bloques de piedra para convertirla en una pirámide verdadera, obtendremos ese mismo ángulo aproximadamente. Esto ya fue realizado en época faraónica. El rey Seneferu convirtió la pirámide escalonada de Médium en otra de caras lisas, donde se ha podido constatar que el ángulo de inclinación de sus caras es de 51º 57’, coincidiendo por tanto con el valor teórico.
  • Asimismo, para tratar de explicar la inclinación de las pirámides con ángulos entorno a los 53º (Grupo 6), el ángulo más utilizado en la construcción piramidal, además de las mismas razones explicadas en el punto anterior, se pueden añadir dos razones fundamentales. La primera es la utilización del triangulo sagrado egipcio o triangulo 3-4-5 y la segunda los beneficios prácticos que se obtienen al realizar los cálculos matemáticos como consecuencia de la utilización del mismo, tanto en el diseño original como en el momento de la construcción para ir encajando cada bloque en su lugar e incluso para cortar los bloques de revestimiento con la inclinación adecuada.

Bibliografía

Sobre pirámides en general:

  • M. Lehner, The complete pyramids, Londres: Thames & Hudson, 1997.
  • M. Verner, The Pyramids, Grove Press. New York, 2001
  • PARRA ORTIZ, J.M.: Historia de las pirámides de Egipto . Madrid. Editorial Complutense, 1997.
  • J. Baines, J. Malek. Dioses, Templos y Faraones. Ediciones Folio S.A./Ediciones del Prado. 1992.
  • Las Piramides Egipcias: cronología, clasificación y geometría

Sobre el uso de triángulos sagrados en la construcción de templos y pirámides:

  • LAUER, J.P.: «Le triangle sacré dans les plans des monuments de l’Ancien Empire. Aux monuments de Khéphren à Guizeh» BIFAO 77 (1977)
  • MARTÍNEZ ORTEGA, A. “El diseño de las pirámides basadas en el triángulo sagrado egipcio”. BAEDE Nº 11. (2001).
  • MARTÍNEZ ORTEGA, A. “Estudios arqueastronomicos en la necrópolis menfita”.
  • REVISTA DE LA SOCIEDAD URUGUAYA DE EGIPTOLOGIA. Año 20, Nº 20. Montevideo
    2003

Sobre matemáticas y unidades egipcias: